大林算法控制器

Dahlin

针对于含有纯滞后环节的连续被控对象，将超调量作为主要的设计指标

数字控制器
设计目标：设计合适的数字控制器，使得闭环系统的传递函数为含有纯滞后的一阶惯性环节，且闭环系统的纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间完全相同，且为采样周期的整数倍。

期望的闭环传递函数，使用阶跃响应不变法进行离散化（和零阶保持器串联）：

\begin{array}{r} τ = N T \Rightarrow Φ (s) = \frac{e^{- N T s}}{T_{0} s + 1} \Rightarrow Φ (z) = Z [\frac{1 - e^{- T s}}{s} \cdot \frac{e^{- N T s}}{T_{0} s + 1}] \end{array}

广义对象的传递函数：

\begin{array}{r} G (z) = Z [G_{0} (s) G_{h} (s)] = (1 - z^{- 1}) Z [\frac{G_{0} (s)}{s}] \end{array}

得到大林算法控制器：

\begin{array}{r} D (z) = \frac{1}{G (z)} \frac{Φ (z)}{1 - Φ (z)} = \frac{1}{G (z)} \cdot \frac{(1 - e^{- T / T_{0}}) z^{- (N + 1)}}{1 - e^{- T / T_{0}} z^{- 1} - (1 - e^{- T / T_{0}}) z^{- (N + 1)}} \end{array}

期望闭环传递函数和广义对象都可简化计算量

Ringing) 现象：数字控制器 $D (z)$ 的控制器输出会以 $\frac{1}{2}$ 采样频率大幅度上下摆动

振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性

数字控制器的输出量和系统参考输入量之间的关系为：

\begin{array}{r} U (z) = \frac{Y (z)}{G (z)} = \frac{Φ (z) R (z)}{G (z)} = \frac{Φ (z)}{G (z)} R (z) = \frac{D (z)}{1 + D (z) G (z)} R (z) = Φ_{u} (z) R (z) \end{array}

对于纯滞后的二阶惯性环节对象，会产生与 $z = - 1$ 相近的极点，此极点将引起振铃现象。

Ringing Amplitude)：系统单位阶跃信号的作用下，数字控制器第 0 拍和第 1 拍输出的差值，实际上就是输入和控制器输出的传递函数分母 $z^{- 1}$ 的系数和分子 $z^{- 1}$ 的系数之差：

\begin{array}{r} Φ_{u} (z) = \frac{Φ (z)}{G (z)} = \frac{D (z)}{1 + D (z) G (z)} = \frac{1 + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots}{1 + a_{1} z^{- 1} + a_{2} z^{- 2} + \dots} \end{array}

\begin{aligned} U (z) = Φ_{u} (z) R (z) \\ = \frac{1 + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots}{1 + a_{1} z^{- 1} + a_{2} z^{- 2} + \dots} \frac{1}{1 - z^{- 1}} \\ = 1 + (b_{1} - a_{1} + 1) z^{- 1} + \dots \\ \Rightarrow & R A = 1 - (b_{1} - a_{1} + 1) = a_{1} - b_{1} \end{aligned}

例子：

\begin{array}{r} Φ_{u} (z) = \frac{1}{1 + 0.5 z^{- 1}} b_{0} = 0, a_{0} = 0.5 R A = 0.5 \end{array}

\begin{array}{r} Φ_{u} (z) = \frac{1 - 0.5 z^{- 1}}{(1 + 0.5 z^{- 1}) (1 - 0.2 z^{- 1})} b_{0} = - 0.5, a_{0} = 0.3 R A = 0.3 - (- 0.5) = 0.8 \end{array}

令控制器导致振铃的极点项(接近 $z = - 1$ ) 的 $z$ 直接为 1，影响动态响应，但是不影响静态
$(1 + a z^{- 1}) \Rightarrow (1 + a)$

\begin{array}{r} D (z) = \frac{K (1 - 0.9512 z^{- 1}) (1 - 0.989 z^{- 1})}{(1 + 0.9619 z^{- 1}) (1 - 0.9355 z^{- 1})} = \frac{K (1 - 0.9512 z^{- 1}) (1 - 0.989 z^{- 1})}{1.9619 (1 - 0.9355 z^{- 1})} \end{array}

修正的闭环传递函数：

\begin{array}{r} Φ_{k} (z) = D (z) G (z) Φ (z) = \frac{D (z) G (z)}{1 + D (z) G (z)} \end{array}

\begin{array}{r} \frac{1}{(5 s + 1) (10 s + 1)} e^{- 2 s} \end{array}